Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + 5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 (- \sin (x)))$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) - 5 \sin (x))$