Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 1) (x - 2)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x + 1) (x + 2)$ et $g (x) = (x - 1) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)] - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) ((x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) ((x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + (x + 2) (1 + 0)) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + (x + 2) \cdot 1) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (x + 1 + x + 2) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 1 + 2) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 3.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) \frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 2)]}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) ((x - 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) ((x - 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + (x - 2) (1 + 0))}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + (x - 2) \cdot 1)}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (x - 1 + x - 2)}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (2 x - 1 - 2)}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 5.8.4

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{((x - 1) (x - 2))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $(x - 1) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) - (x + 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x - 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Développez $(x - 1) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (x - 2) - 1 (x - 2)) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (x - 2)) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x^{2} + x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot - 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x - x + 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 3) + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Développez $(x^{2} - 3 x + 2) (2 x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.4.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 3 x (2 x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.4.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} - 3 x \cdot 3 + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.7

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} - 9 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} - 9 x + 4 x + 2 \cdot 3 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} - 9 x + 4 x + 6 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5

Soustrayez $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 4 x + 6 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.6

Additionnez $- 9 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x - 1) (x + 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.8

Développez $(- x - 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x (x + 2) - 1 (x + 2)) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x \cdot x - x \cdot 2 - 1 (x + 2)) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x \cdot x - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.9.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- (x \cdot x) - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x^{2} - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x^{2} - 2 x - 1 x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x^{2} - 2 x - x - 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 + (- x^{2} - 3 x - 2) (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10

Développez $(- x^{2} - 3 x - 2) (2 x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.11.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 3 - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x (2 x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.11.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.7

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} - 3 x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.8

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} + 9 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.9

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} + 9 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11.10

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x^{2} + 9 x - 4 x + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.12

Soustrayez $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 4 x + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.1.13

Soustrayez $4 x$ de $9 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 6$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5 x + 6 + 0 - 3 x^{2} + 5 x + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $- 3 x^{2} - 5 x + 6$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5 x + 6 - 3 x^{2} + 5 x + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} + 0 + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.2.4

Additionnez $- 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 - 3 x^{2} + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6 + 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.3.4

Additionnez $6$ et $6$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 12}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{2} + 12$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{6 (- x^{2}) + 12}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{6 (- x^{2}) + 6 (2)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x^{2}) + 6 (2)$ .

$\frac{6 (- x^{2} + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{6 (- (x^{2}) + 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x^{2}) - 1 (- 2))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x^{2} - 2))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.8

Réécrivez $- (x^{2} - 2)$ comme $- 1 (x^{2} - 2)$ .

$\frac{6 (- 1 (x^{2} - 2))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 6.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (x^{2} - 2)}{{(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$