Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\sqrt{7}}$ et $g (x) = x + \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\sqrt{7}}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \sqrt{7}$ .

$\sqrt{7} u^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{1}{x^{2}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Étape 2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Étape 2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 x^{- 3})$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - 2 \frac{1}{x^{3}})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 + \frac{- 2}{x^{3}})$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{7} {(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} (1 - \frac{2}{x^{3}})$ .

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{\sqrt{7} - 1} \sqrt{7} (1 - \frac{2}{x^{3}})$