Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + \sqrt{x})}^{5}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{4} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$