Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 2) (x + 3)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ et $g (x) = (x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) (1 + 0)) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1) \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 3)]}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2])}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) (1 + 0))}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + (x + 3) \cdot 1)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.8.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (x + 2 + x + 3)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + 3)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 5.8.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 (x + 1)) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2) (x + 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Développez $(x + 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (x + 3) + 2 (x + 3)) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 2 (x + 3)) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x^{2} + x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x^{2} + 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 3) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2 x + 6) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.2.2

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2 \cdot 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.4

Développez $(x^{2} + 5 x + 6) (2 x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 5 x (2 x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.5.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 5 \cdot 2 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 6 (2 x) + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.8

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 12 x + 6 \cdot 2 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.5.9

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x^{2} + 10 x + 12 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 12 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.7

Additionnez $10 x$ et $12 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - {(x + 1)}^{2} (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.8

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - ((x + 1) (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + x + x + 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.10.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.12

Simplifiez

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Étape 6.3.1.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 + (- x^{2} - 2 x - 1) (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.13

Développez $(- x^{2} - 2 x - 1) (2 x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.14.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.14.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.3.1.14.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.14.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.8

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 2 x - 1 \cdot 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.14.10

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x^{2} - 10 x - 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 10 x - 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.1.16

Soustrayez $2 x$ de $- 10 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12 - 2 x^{3} - 9 x^{2} - 12 x - 5$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{2} + 22 x + 12 + 0 - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $12 x^{2} + 22 x + 12$ et $0$ .

$\frac{12 x^{2} + 22 x + 12 - 9 x^{2} - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.3

Soustrayez $9 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 22 x + 12 - 12 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.4

Soustrayez $12 x$ de $22 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 10 x + 12 - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.3.5

Soustrayez $5$ de $12$ .

$\frac{3 x^{2} + 10 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 10 (x) + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez $10$ comme $3$ plus $7$

$\frac{3 x^{2} + (3 + 7) x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 x + 7 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) + 7 x + 7}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 x (x + 1) + 7 (x + 1)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 6.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$