Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln^{2} (x + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x + 4)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x + 4)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x + 4)$ .

$2 \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [\ln (x + 4)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 4$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 4$ .

$2 \ln (x + 4) (\frac{1}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{x + 4}$ et $2$ .

$\frac{2}{x + 4} \ln (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.2

Associez $\frac{2}{x + 4}$ et $\ln (x + 4)$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} (1 + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4} \cdot 1$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$ par $1$ .

$\frac{2 \ln (x + 4)}{x + 4}$

Étape 4

Simplifiez $2 \ln (x + 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({(x + 4)}^{2})}{x + 4}$