Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{- 2 x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = 1 + e^{- 2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + e^{- 2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{- 2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - e^{0} \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - \frac{d}{d x} [- 2 x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} - (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2 \cdot 1}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 x}) e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} e^{2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.1.2.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{- 2 x}) + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x - 2 x} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3.1.2.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{0} + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3.1.3

Simplifiez $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 + 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.4

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x} + 4$ .

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Étape 11.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 4}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 \cdot 2}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 11.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x} + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 2)}{{(1 + e^{- 2 x})}^{2}}$