Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{2} (x) (x^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 x^{2}) + x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 x^{3} (\cos (x) \sin (x))$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $2 x^{3}$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (2 x^{3})$

Étape 5.2.3

Ajoutez des parenthèses.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x^{3}$

Étape 5.2.4

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sin (x) \cdot 2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) x^{3}$

Étape 5.2.5

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) x^{3}$

Étape 5.2.6

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{2} \sin^{2} (x) + \sin (2 x) x^{3}$ .

$3 x^{2} \sin^{2} (x) + x^{3} \sin (2 x)$