Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{300 x + 300}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 300 x + 300$ et $g (x) = {(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [300 x + 300] - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $300 x + 300$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [300 x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.3

Comme $300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $300 x$ par rapport à $x$ est $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.5

Multipliez $300$ par $1$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + \frac{d}{d x} [300]) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.6

Comme $300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $300$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (300 + 0) - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $300$ et $0$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 300 - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 2.7.2

Déplacez $300$ à gauche de ${(2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{300 \cdot {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{2}]}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 u \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - (300 x + 300) (2 (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) ((2 x + 3) \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x + 3$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 2 (300 x + 300) (2 \cdot (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} - 4 (300 x + 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 {(2 x + 3)}^{2} + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Réécrivez ${(2 x + 3)}^{2}$ comme $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{300 ((2 x + 3) (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2

Développez $(2 x + 3) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3)) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{300 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{300 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$\frac{300 (4 x^{2} + 12 x + 9) + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 (4 x^{2}) + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 300 (12 x) + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.5.2

Multipliez $12$ par $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 300 \cdot 9 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.5.3

Multipliez $300$ par $9$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 4 (300 x) - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $300$ par $- 4$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 4 \cdot 300) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $- 4$ par $300$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 + (- 1200 x - 1200) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7

Développez $(- 1200 x - 1200) (2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x + 3) - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 x (2 x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.8.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x \cdot x - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.8.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 (x \cdot x) - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 1200 \cdot 2 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.3

Multipliez $- 1200$ par $2$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 1200 x \cdot 3 - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.4

Multipliez $3$ par $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 1200 (2 x) - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.5

Multipliez $2$ par $- 1200$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 1200 \cdot 3}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.1.6

Multipliez $- 1200$ par $3$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 3600 x - 2400 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.1.8.2

Soustrayez $2400 x$ de $- 3600 x$ .

$\frac{1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 2400 x^{2} - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2400 x^{2}$ de $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1200 x^{2} + 3600 x + 2700 - 6000 x - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $6000 x$ de $3600 x$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x + 2700 - 3600}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.2.4

Soustrayez $3600$ de $2700$ .

$\frac{- 1200 x^{2} - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $300$ à partir de $- 1200 x^{2} - 2400 x - 900$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $300$ à partir de $- 1200 x^{2}$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) - 2400 x - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $300$ à partir de $- 2400 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) - 900}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $300$ à partir de $- 900$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.1.4

Factorisez $300$ à partir de $300 (- 4 x^{2}) + 300 (- 8 x)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.1.5

Factorisez $300$ à partir de $300 (- 4 x^{2} - 8 x) + 300 (- 3)$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot - 3 = 12$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 8 (x) - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 2$ plus $- 6$

$\frac{300 (- 4 x^{2} + (- 2 - 6) x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{300 (- 4 x^{2} - 2 x - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{300 ((- 4 x^{2} - 2 x) - 6 x - 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{300 (2 x (- 2 x - 1) + 3 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x - 1$ .

$\frac{300 ((- 2 x - 1) (2 x + 3))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

$\frac{300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $2 x + 3$ et ${(2 x + 3)}^{4}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2 x + 3$ à partir de $300 (- 2 x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $2 x + 3$ à partir de ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) (300 (- 2 x - 1))}{(2 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{300 (- 2 x - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x) - 1 (1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{300 (- (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.8

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{300 (- 1 (2 x + 1))}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Étape 5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{300 (2 x + 1)}{{(2 x + 3)}^{3}}$