Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x + 5}{3 x - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 5$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(3 x - 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{6 x - 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $6 x - 4 - 6 x - 15$ .

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{0 - 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $15$ de $- 4$ .

$\frac{- 19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$