Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [2 + {(x^{2} + 1)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + {(x^{2} + 1)}^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$3 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0))$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} (2 x))$

Étape 4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$12 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} (2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Étape 4.5.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$

Étape 4.5.4

Réorganisez les facteurs de $24 {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2} ({(x^{2} + 1)}^{3} x)$ .

$24 x {(x^{2} + 1)}^{3} {(2 + {(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$