Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(4 x^{2} + 3)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} + 3$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (8 x + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$5 {(4 x^{2} + 3)}^{4} (8 x)$

Étape 2.6.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$40 {(4 x^{2} + 3)}^{4} x$

Étape 2.6.3

Réorganisez les facteurs de $40 {(4 x^{2} + 3)}^{4} x$ .

$40 x {(4 x^{2} + 3)}^{4}$