Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $3 - x^{2}$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.9

Multipliez.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 1 (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Déplacez $2$ à gauche de $x - 4$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 2 \cdot (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.11.2

Associez $\frac{3 - x^{2} + 2 (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(3 - x^{2} + 2 (x - 4) x) \cdot 3}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Étape 3.11.3

Déplacez $3$ à gauche de $3 - x^{2} + 2 (x - 4) x$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Associez des termes.

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Étape 4.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.9

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.10

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.11

Multipliez $\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ par $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5.12

Multipliez ${(3 - x^{2})}^{2}$ par ${(3 - x^{2})}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.12.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 2}}$

Étape 4.5.12.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (9 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9 + 3 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3 + 3 x^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 (3 + x^{2} - 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Étape 4.8

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$