Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + \sin (7 x))}^{- 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = 1 + \sin (7 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + \sin (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + \sin (7 x)$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [1 + \sin (7 x)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (7 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (7 x)])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Multipliez $7$ par $- 4$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x) \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $- 28$ par $1$ .

$- 28 {(1 + \sin (7 x))}^{- 5} \cos (7 x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 28 \frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Étape 5.2

Associez $- 28$ et $\frac{1}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$\frac{- 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}} \cos (7 x)$

Étape 5.4

Associez $\cos (7 x)$ et $\frac{28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$ .

$- \frac{\cos (7 x) \cdot 28}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$

Étape 5.5

Déplacez $28$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$- \frac{28 \cos (7 x)}{{(1 + \sin (7 x))}^{5}}$