Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 - \frac{x}{7})}^{- 7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 7}$ et $g (x) = 1 - \frac{x}{7}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \frac{x}{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 7$ .

$- 7 u^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \frac{x}{7}$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{7}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{x}{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{7}]$

Étape 2.4

Comme $- \frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{7}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (- \frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} (\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$\frac{7}{7} {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{7}{7}$ et ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ .

$\frac{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}}{7} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.4

Placez ${(1 - \frac{x}{7})}^{- 8}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{7 {(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}} \cdot 1$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(1 - \frac{x}{7})}^{8}}$

Étape 2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{(- \frac{x}{7} + 1)}^{8}}$