Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ et $g (x) = x^{5} - 8$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5} - 8$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 5.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 6.2

Associez $\frac{4}{5}$ et ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 {(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 6.3

Placez ${(x^{5} - 8)}^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 9

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4} + 0)$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} (5 x^{4})$

Étape 10.2

Associez $5$ et $\frac{4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Étape 10.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}} x^{4}$

Étape 10.4

Associez $\frac{20}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 10.5

Factorisez $5$ à partir de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 ({(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}})}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 {(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{4}}{{(x^{5} - 8)}^{\frac{1}{5}}}$