Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{6} \ln (x))}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x^{6} \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6} \ln (x)$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} \frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{6}$ et $\frac{1}{x}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$5 {(x^{6} \ln (x))}^{4} (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $x^{6} \ln (x)$ .

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{4}$ .

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$5 (x^{24} \ln^{4} (x)) x^{5} + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.2

Multipliez $x^{24}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $x^{5}$ .

$5 (x^{5} x^{24}) \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $5$ et $24$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 ({(x^{6})}^{4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{4}$ .

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{6 \cdot 4} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 5 (x^{24} \ln^{4} (x)) (\ln (x) (6 x^{5}))$

Étape 5.3.4

Multipliez $6$ par $5$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{24} \ln^{4} (x) (\ln (x) (x^{5}))$

Étape 5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{5 + 24} \ln^{4} (x) \ln (x)$

Étape 5.3.6

Additionnez $5$ et $24$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{4} (x) \ln (x)$

Étape 5.3.7

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{4} (x))$

Étape 5.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 4}$

Étape 5.3.9

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 x^{29} \ln^{4} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x)$