Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ et $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.5

Associez les fractions.

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Étape 5.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.5.2

Associez $2$ et $\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{1}{x})$

Étape 7

Associez $\ln (x^{2} + 1)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Étape 8

Pour écrire $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Étape 9

Pour écrire $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Étape 10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Étape 10.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 1) x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{x (x^{2} + 1)} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x \cdot x + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x^{1}) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{1 + 1} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 15

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 16

Associez $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}$ et $\frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.2.1.3

Multipliez $\ln (x^{2} + 1)$ par $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.3

Associez des termes.

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Étape 17.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 17.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Étape 17.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Étape 17.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x \cdot 1}$

Étape 17.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$

Étape 17.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$