Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} - 3)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 3$ .

$4 {(x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x + 0)$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 {(x^{2} - 3)}^{3} x$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $8 {(x^{2} - 3)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 3)}^{3}$