Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 10}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 10}$ et $g (x) = \frac{x}{2} - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 10$ .

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2} - 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{1}{2}$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{- 10}{2}$ et ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ .

$\frac{- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}}{2}$

Étape 2.6.4

Placez ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Étape 2.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 ({(\frac{x}{2} - 1)}^{11})}$

Étape 2.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Étape 2.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$