Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ .

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

Étape 2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 - x$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.9

Associez les fractions.

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Étape 4.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 4.9.2

Associez $\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ et $18$ .

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Étape 4.9.3

Déplacez $18$ à gauche de $2 (2 - x) x + x^{2}$ .

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $6 x^{2}$ .

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6

Associez des termes.

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Étape 5.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Multipliez $4$ par $18$ .

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.8

Multipliez $- 2$ par $18$ .

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.9

Additionnez $- 36 x^{2}$ et $18 x^{2}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.10

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.6.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.12

Multipliez $\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ par $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 5.6.13

Multipliez ${(2 - x)}^{2}$ par ${(2 - x)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

Étape 5.6.13.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

Étape 5.6.14

Déplacez $36$ à gauche de $72 x - 18 x^{2}$ .

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Factorisez $18 x$ à partir de $72 x - 18 x^{2}$ .

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Étape 5.8.1.1

Factorisez $18 x$ à partir de $72 x$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.1.2

Factorisez $18 x$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.1.3

Factorisez $18 x$ à partir de $18 x (4) + 18 x (- x)$ .

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.2

Associez les exposants.

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Étape 5.8.2.1

Multipliez $18$ par $36$ .

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

Étape 5.8.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$