Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 3.3

Multipliez ${(x^{3} - 6)}^{2}$ par $1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{3} - 6$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 6$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 5.2

Factorisez $x^{3} - 6$ à partir de ${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{3} - 6$ à partir de ${(x^{3} - 6)}^{2}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{3} - 6$ à partir de $- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{3} - 6$ à partir de $(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x^{3} - 6$ à partir de ${(x^{3} - 6)}^{4}$ .

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 10.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 11

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 11.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 12

Soustrayez $6 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 13

Associez $5$ et $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.3

Factorisez $5$ à partir de $- 25 x^{3} - 30$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 25 x^{3}$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 30$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ .

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{3}) - 1 (6)$ .

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.7

Réécrivez $- (5 x^{3} + 6)$ comme $- 1 (5 x^{3} + 6)$ .

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

Étape 14.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$