Calcul infinitésimal Exemples

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$