Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{1 + 2 x}{3 - 4 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + 2 x$ et $g (x) = 3 - 4 x$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 - 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) \frac{d}{d x} [2 x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - 4 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $3 - 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (3 - 4 x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) \cdot 1 - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [3 - 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) - (1 + 2 x) (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.12

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x) \cdot 1}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2.14

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2 (3 - 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 (1 + 2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 (- 4 x) + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 \cdot 1 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 4 (2 x)}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{6 - 8 x + 4 + 8 x}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $6 - 8 x + 4 + 8 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$\frac{6 + 0 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$\frac{6 + 4}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{10}{{(3 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10}{{(- 4 x + 3)}^{2}}$