Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{x}{y})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{y}$ .

$1 \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $1$ .

$\frac{y}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 4

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y}{x} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x}$