Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ par $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 9.2

Placez $x^{\frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $x^{\frac{5}{2}}$ par $x^{- \frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Déplacez $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 (x^{- \frac{3}{2}} x^{\frac{5}{2}})}$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{2 x^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}}}$

Étape 10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2 x^{\frac{- 3 + 5}{2}}}$

Étape 10.1.4

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{5}{2 x^{1}}$

Étape 10.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{5}{2 x}$