Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $135 x$ par rapport à $x$ est $135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.10

Multipliez $135$ par $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

Étape 2.12

Additionnez $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ et $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ .

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.2

Multipliez $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ par $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} + 12 x + 135$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $135$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 5$ plus $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 5$ .

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

Étape 3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $135 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

Étape 3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

Étape 3.13

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

Étape 3.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Étape 3.15

Réécrivez $- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ comme $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Étape 3.16

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

Étape 3.17

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$