Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} - 8 x + 52)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 8 x + 52$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 8 x + 52$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 52]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 52]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 8 x + 52$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 52]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 52$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [52]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [52])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [52])$

Étape 2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [52])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [52])$

Étape 2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [52])$

Étape 2.6

Comme $52$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $52$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8 + 0)$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{x^{2} - 8 x + 52}$

Étape 3.2

Multipliez $2 x - 8$ par $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 52}$ .

$\frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 52}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 8$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 52}$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 52}$

Étape 3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 52}$