Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} \sin (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} \sin (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{x^{2} \sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cos (x)}{x^{2} \sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x) + \frac{1}{x^{2} \sin (x)} (\sin (x) (2 x))$

Étape 5.2.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)} (2 x)$

Étape 5.2.6

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)} x$

Étape 5.2.7

Associez $\frac{2 \sin (x)}{x^{2} \sin (x)}$ et $x$ .

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) + \frac{2 \sin (x) x}{x^{2} \sin (x)}$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) + \frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) + \frac{2}{x}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{x} + \cot (x)$