Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (1 + 3 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Associez $3$ et $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Associez $2$ et $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x$

Étape 2.7.3

Associez $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}$

Étape 2.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$