Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{n})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{n}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{n}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{n}$ .

$\frac{1}{x^{n}} \frac{d}{d x} [x^{n}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = n$ .

$\frac{1}{x^{n}} (n x^{n - 1})$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $n$ et $\frac{1}{x^{n}}$ .

$\frac{n}{x^{n}} x^{n - 1}$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{n}{x^{n}}$ et $x^{n - 1}$ .

$\frac{n x^{n - 1}}{x^{n}}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{n - 1}$ et $x^{n}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $x^{n}$ à partir de $n x^{n - 1}$ .

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n}}$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{n} (n x^{- 1})}{x^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{n x^{- 1}}{1}$

Étape 2.2.3.2.4

Divisez $n x^{- 1}$ par $1$ .

$n x^{- 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$n \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Associez $n$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{n}{x}$