Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{k})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{k}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{k}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{k}$ .

$\frac{1}{x^{k}} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = k$ .

$\frac{1}{x^{k}} (k x^{k - 1})$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $k$ et $\frac{1}{x^{k}}$ .

$\frac{k}{x^{k}} x^{k - 1}$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{k}{x^{k}}$ et $x^{k - 1}$ .

$\frac{k x^{k - 1}}{x^{k}}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{k - 1}$ et $x^{k}$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $x^{k}$ à partir de $k x^{k - 1}$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k}}$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{k x^{- 1}}{1}$

Étape 2.2.3.2.4

Divisez $k x^{- 1}$ par $1$ .

$k x^{- 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$k \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Associez $k$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{k}{x}$