Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{e}{e - x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{e}{e - x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{e}{e - x}$ .

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{e}{e - x}$ .

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{e - x}{e}$ par $1$ .

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

Étape 3.2

Comme $e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{e}{e - x}$ par rapport à $x$ est $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ .

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $e$ et $\frac{e - x}{e}$ .

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Étape 3.3.2.2

Divisez $e - x$ par $1$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{1}{e - x}$ comme ${(e - x)}^{- 1}$ .

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = e - x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e - x$ .

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e - x$ .

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

Étape 5

Élevez $e - x$ à la puissance $1$ .

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

Étape 7

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 9

Comme $e$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12

Multipliez.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.2

Multipliez ${(e - x)}^{- 1}$ par $1$ .

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

Étape 14

Multipliez ${(e - x)}^{- 1}$ par $1$ .

${(e - x)}^{- 1}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e - x}$

Étape 15.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- x + e}$

Étape 15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{- (x) + e}$

Étape 15.4

Factorisez $- 1$ à partir de $e$ .

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

Étape 15.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- e)$ .

$\frac{1}{- (x - e)}$

Étape 15.6

Réécrivez $- (x - e)$ comme $- 1 (x - e)$ .

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

Étape 15.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x - e}$