Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sin (3 x) + e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (3 x) + e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (3 x) + e^{x}$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) + e^{x}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (3 x) + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cdot \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} (3 \cos (3 x) + e^{x})$ .

$(3 \cos (3 x) + e^{x}) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Étape 6.3

Multipliez $3 \cos (3 x) \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ et $3$ .

$\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}} \cos (3 x) + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{3}{\sin (3 x) + e^{x}}$ et $\cos (3 x)$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + e^{x} \frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Étape 6.4

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{\sin (3 x) + e^{x}}$ .

$\frac{3 \cos (3 x)}{\sin (3 x) + e^{x}} + \frac{e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cos (3 x) + e^{x}}{\sin (3 x) + e^{x}}$