Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x + 1}$ .

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 5

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 7

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x + 1)}^{- 1}$

Étape 12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x + 1}$