Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{1}{\ln (x)})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{\ln (x)}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\ln (x)}$ .

$1 \ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x)}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{\ln (x)}$ comme $\ln^{- 1} (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\ln (x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 5

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$- (\ln^{1} (x) \ln^{- 2} (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- {\ln (x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 7

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 8

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$- \ln^{- 1} (x) \frac{1}{x}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln^{- 1} (x)$ .

$- \frac{\ln^{- 1} (x)}{x}$

Étape 9.2

Placez $\ln^{- 1} (x)$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x \ln (x)}$