Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{30}{x}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{30}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{30}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.2

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{30}{x}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.6

Associez $- 30$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.7

Associez $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.8

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \arctan (\frac{10}{x})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Étape 3.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

Étape 3.7

Associez $- 10$ et $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

Étape 3.8

Associez $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

Étape 3.9

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{30}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5

Associez des termes.

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Étape 4.5.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.2

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{900}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.4.2

Divisez $900$ par $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.6

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

Étape 4.5.7

Associez $\frac{100}{x^{2}}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.8

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.8.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 4.5.8.2

Divisez $100$ par $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Étape 4.5.9

Pour écrire $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Étape 4.5.10

Pour écrire $\frac{10}{x^{2} + 100}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Étape 4.5.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.11.1

Multipliez $\frac{30}{x^{2} + 900}$ par $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Étape 4.5.11.2

Multipliez $\frac{10}{x^{2} + 100}$ par $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.5.11.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $10$ à partir de $- 30 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $10$ à partir de $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.3

Multipliez $- 3$ par $100$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.5

Soustrayez $300$ de $900$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.6

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 600$ .

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Étape 4.7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.6.2

Factorisez $2$ à partir de $600$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.7.7

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.9

Réécrivez $300$ comme $- 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.11

Réécrivez $- (x^{2} - 300)$ comme $- 1 (x^{2} - 300)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$