Calcul infinitésimal Exemples

$\int \cos (\ln (x)) d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \cos (u)$ et $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Étape 5.2

Multipliez $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ par $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Étape 5.3

Remettez dans l’ordre $e^{u}$ et $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = \sin (u)$ et $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Étape 7

En résolvant $\int e^{u} \cos (u) d u$ , nous trouvons que $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

Étape 8

Réécrivez $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ comme $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Étape 10.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$