Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 5} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to 5} 5 x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 lim_{x \to 5} x}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{5 \cdot 5}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{5 - \sqrt{5 x}}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \sqrt{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.3

Appliquez la règle de produit à $5 (x)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.4

Comme $- 5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $5^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.13

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{0 - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{- \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 5} - \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} - \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{\sqrt{5}}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 5} \sqrt{x}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 5} x}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{5}$ .

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Étape 4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $\sqrt{5}$ à partir de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$