Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x^{2} - 7}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x^{2} - 7}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} - 7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{2} - 7}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{x^{2} - 7}$ par $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 7}{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 7$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 7] - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 5.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 11

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x}{x^{2} - 7} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{x}{x^{2} - 7}$ par $\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{(x^{2} - 7) x^{2}}$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Factorisez $x$ à partir de $(x^{2} - 7) x^{2}$ .

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 x^{2} - (x^{2} - 7))}{x ((x^{2} - 7) x)}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 7)}{(x^{2} - 7) x}$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{(x^{2} - 7) x}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 7}{x^{2} x - 7 x}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x - 7 x}$

Étape 13.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2} x^{1} - 7 x}$

Étape 13.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 7}{x^{2 + 1} - 7 x}$

Étape 13.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x^{3} - 7 x}$

Étape 13.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} - 7 x}$

Étape 13.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 7}$

Étape 13.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 7$ .

$\frac{x^{2} + 7}{x (x^{2} - 7)}$