Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\frac{x^{5}}{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x^{5}}{3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x^{5}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5}}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Étape 2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x^{5}}{3}$ .

$1 \frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Étape 3

Multipliez $\frac{3}{x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{3}{x^{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{3}]$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{x^{5}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Étape 7.2

Associez $\frac{5}{x^{5}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{x}$