Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\arctan (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\arctan (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\arctan (x)$ .

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Associez $\frac{1}{\arctan (x)}$ et $x$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{x}{\arctan (x)}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $\ln (\arctan (x))$ par $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\arctan (x)$ par $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\ln (\arctan (x))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$