Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \cos (\ln (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (\ln (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\ln (x))] + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\ln (x)) \frac{1}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sin (\ln (x))$ .

$x (- \frac{\sin (\ln (x))}{x}) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Associez $x$ et $\frac{\sin (\ln (x))}{x}$ .

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x \sin (\ln (x))}{x} + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2.2

Divisez $\sin (\ln (x))$ par $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x)) \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\cos (\ln (x))$ par $1$ .

$- \sin (\ln (x)) + \cos (\ln (x))$