Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \cos (\frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (\frac{1}{x})$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})] + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Multipliez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Multipliez $\sin (\frac{1}{x})$ par $1$ .

$x (\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{- 2} x^{1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- 2 + 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x}) \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $\cos (\frac{1}{x})$ par $1$ .

$x^{- 1} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sin (\frac{1}{x})$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x} + \cos (\frac{1}{x})$