Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 2

Réécrivez $\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ à $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Étape 5.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + \frac{π}{4}])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{2} + \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 6.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Étape 6.5

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 6.6

Associez les fractions.

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Étape 6.6.1

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \frac{1}{2}$

Étape 6.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$ et $\sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $\cot (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \sec^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})})}^{2}}{2}$

Étape 7.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ à partir de $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.5

Multipliez $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ par $\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.6

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}}{2}$

Étape 7.1.7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ à $\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.8

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})} \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}$ à $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{1} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.10

Divisez $1^{2}$ par $1$ .

$\frac{1^{2} \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.1.12

Multipliez $\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\frac{\sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\csc (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) \sec (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})}{2}$