Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x) \cdot \ln (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (2 x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (x)}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $2$ et $\frac{\ln (x)}{2 x}$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (x)}{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (2 x) \frac{1}{x}$

Étape 5

Associez $\ln (2 x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (2 x)}{x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) + \ln (2 x)}{x}$

Étape 6.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x (2 x))}{x}$

Étape 6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln (2 x \cdot x)}{x}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\ln (2 (x \cdot x))}{x}$

Étape 6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\ln (2 x^{2})}{x}$