Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3 + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $8 x + 3$ et $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1} (8 x + 3)$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 x - 1}$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + 3 (x) - 1}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(8 x + 3) \frac{1}{4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(8 x + 3) \frac{1}{x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1)}$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$(8 x + 3) \frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$

Étape 3.3

Multipliez $8 x + 3$ par $\frac{1}{(4 x - 1) (x + 1)}$ .

$\frac{8 x + 3}{(4 x - 1) (x + 1)}$