Calcul infinitésimal Exemples

$x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Étape 2.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Étape 2.7

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Étape 2.8

Associez $\frac{2}{x^{2} + 1}$ et $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 2.9

Associez $- 6$ et $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez des termes.

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Étape 3.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Étape 3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$