Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{5} + 3) \cdot e^{3 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5} + 3$ et $g (x) = e^{3 x^{2}}$ .

$(x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}] + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{5} + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2}$ .

$(x^{5} + 3) (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (3 (2 x)) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4} + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$(x^{5} + 3) e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{5} e^{3 x^{2}} + 3 e^{3 x^{2}}) (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} e^{3 x^{2}} (6 x) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 5} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$x^{6} e^{3 x^{2}} \cdot 6 + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.3.4

Déplacez $6$ à gauche de $x^{6} e^{3 x^{2}}$ .

$6 \cdot (x^{6} e^{3 x^{2}}) + 3 e^{3 x^{2}} (6 x) + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.3.5

Multipliez $6$ par $3$ .

$6 x^{6} e^{3 x^{2}} + 18 e^{3 x^{2}} x + e^{3 x^{2}} (5 x^{4})$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 e^{3 x^{2}} x^{6} + 18 e^{3 x^{2}} x + 5 e^{3 x^{2}} x^{4}$