Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} - 6 x) (x^{2} + 9 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 6 x$ et $g (x) = x^{2} + 9 x$ .

$(x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x] + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + \frac{d}{d x} [9 x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9 \cdot 1) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 2.8

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6 \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Étape 3.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Étape 3.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9)) + 1 ((x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$ .

$1 ((x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6))$

Étape 3.2

Multipliez $(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$ par $1$ .

$(x^{2} - 6 x) (2 x + 9) + (x^{2} + 9 x) (2 x - 6)$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 x + 9) (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Développez $(2 x + 9) (x^{2} - 6 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x^{2} - 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 (x^{2} - 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} + 2 x (- 6 x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x \cdot x) + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} + 9 (- 6 x) + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $- 12 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + (2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.3

Développez $(2 x - 6) (x^{2} + 9 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x (x^{2} + 9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 (x^{2} + 9 x)$

Étape 3.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{2 + 1} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 x (9 x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 (x \cdot x) - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 6 (9 x)$

Étape 3.4.4.1.5

Multipliez $9$ par $- 6$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 18 x^{2} - 6 x^{2} - 54 x$

Étape 3.4.4.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 54 x$

Étape 3.5

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 12 x^{2} - 54 x$

Étape 3.6

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 54 x - 54 x$

Étape 3.7

Soustrayez $54 x$ de $- 54 x$ .

$4 x^{3} + 9 x^{2} - 108 x$